решать задачи или примеры

a sum of money - сумма денег

to pay a great sum for smth. - заплатить за что-л. большую сумму денег

the sum of all my wishes - все мои желания вместе взятые

to mount up to the sum of £3 - достичь суммы в три фунта; равняться в итоге трём фунтам

to be good [bad] at sums - быть сильным [слабым] в арифметике

the sum of human bliss [of folly] - вершина человеческого блаженства [глупости]

to increase the sum of human knowledge - пополнять сокровищницу человеческих знаний

the sum and substance of an argument - суть аргумента

the sum of things - а) общественное благо; высший интерес; б) вселенная, мироздание

to sum to £3 - равняться трём фунтам

in sets - в комплектах, в наборах

a set of surgical instruments [of weights] - набор хирургических инструментов [гирь]

a set of chessmen - шахматы

a set of stamps - комплект марок

a set of teeth - а) зубы, ряд зубов; б) вставные зубы, вставная челюсть

well-chosen [valuable] set - хорошо подобранная [ценная] коллекция

they are sold in sets of five - они продаются по пяти штук

a set of china - фарфоровый сервиз

a fine set of silver plate - прекрасный серебряный (столовый) сервиз

a set of furniture - гарнитур мебели

toilet /dressing-table/ set - туалетный прибор

writing /desk/ set - письменный прибор

razor set - бритвенный прибор

a set of Pravda - комплект «Правды»

a set of Dickens - (полное) собрание сочинений Диккенса

a set of houses - ряд домов

a set of lectures - цикл лекций

a set of rules - список правил

a (special) set of circumstances - (особое) стечение обстоятельств

a set of assumptions - ряд допущений /предположений/

a set of questions - ряд вопросов

a set of observations - совокупность наблюдений

a set of men - группа людей

a poor set of players - плохая команда, плохие игроки

four sets of dancers /partners/ - четыре пары танцоров

a new set of customers - новый круг покупателей /клиентов/

a very satisfactory set of new girls - хороший новый состав учениц

the political [the literary] set - политические [литературные] круги

the smart /the fashionable/ set - а) законодатели мод; б) фешенебельное общество

gambling set - картёжники, завсегдатаи игорных домов

they have got into a bad set - они попали в плохую компанию

he belonged to the best set in the college - в колледже он принадлежал к числу избранных

a set of hooligans - банда хулиганов

a set of thieves - шайка воров

set designer - художник по декорациям; художник кинофильма

on the set - на съёмочной площадке

radio set - радиоприёмник

TV set - телевизор

a set of quadrilles - (все) фигуры кадрили

we danced three or four sets of quadrilles - мы протанцевали три или четыре кадрили

theory of sets - теория множеств

the set of the drapery - линия драпировки

the set of his back [of his shoulders] - линия спины [плеч]

the set of the hills - линия /очертание/ гор

I knew him by the set of his hat - я узнал его по манере носить шляпу

a set of the features - черты лица

the set of smb.'s head - посадка головы

of a manly set - мужественного телосложения

he is of a big and broad set - он крупный и широкоплечий мужчина

the set of a tide [of a current, of wind] - направление прилива [течения реки, ветра]

the set of his mind is towards intolerance - он отличается нетерпимостью

the set of public opinion /of public feeling/ - тенденция общественного мнения

a set towards mathematics - склонность к математике; математический склад ума

a set to the right - отклонение /наклон/ вправо

at the set of sun - на заходе солнца

the set of day - конец дня

at the set of life - на склоне лет

a set of blackthorn - побег тёрна

set smile - застывшая улыбка

set stare - неподвижный взор

set glassy eyes - остановившиеся стеклянные глаза

with a set face /countenance/ - с каменным лицом

his movements were set - в его движениях чувствовалась скованность

set wage - твёрдый оклад, постоянная заработная плата

set price - твёрдая цена

set hand - установившийся почерк

the hall holds a set number of people - зал вмещает определённое количество людей

set pattern - штамп

set programme - постоянная /неизменная/ программа

a very set creed - крайний догматизм

set rules - незыблемые правила

to be set in one's ways [ideas] - никогда не изменять своим привычкам [взглядам]

set phrase - клише

in set terms /phrases/ - в шаблонных /избитых/ выражениях, казённым /официальным/ языком

a set form of oath - установленная форма присяги

set arrangements - заранее обусловленные обязательства

at a set time - в (заранее) назначенное время

set speech - заранее подготовленная речь

set task - (заранее) определённая задача

everyone has his own set task - каждому дано своё задание

set defiance - упорное неповиновение

set rains - непрекращающиеся /упорные/ дожди

set mouth - упрямо сжатый рот

a man of set opinions - человек, упорно придерживающийся /не меняющий/ своих взглядов

his jaw looked too square and set - ≅ его лицо выражало упрямство

of set purpose - с умыслом

all set to do smth. - горящий желанием сделать что-л.

we were set for an early morning start - мы подготовились к тому, чтобы выступить рано утром

is everyone set? - все готовы?

to be hard set - находиться в затруднительном положении /в стеснённых обстоятельствах/

to be hard set for money - крайне нуждаться в деньгах

to be sharp set - быть голодным, проголодаться

to get set - толстеть, терять стройность

to set a cup [a glass, a dish] (down) on the table - (по)ставить чашку [стакан, блюдо] на стол

to set the suitcase down - опустить чемодан (на землю)

to set smth. in its place again - поставить /положить/ что-л. на своё место

to set the books back - положить книги на место

to set a chair at /by/ the table - поставить стул около стола /к столу/

to set chairs for visitors - (по)ставить /расставить/ стулья для гостей

to set flowers in water - (по)ставить цветы в воду

to set one's hand on smb.'s shoulder - класть /положить/ руку на чьё-л. плечо

to set a trap /snare/ - поставить силки

to set poison for rats - положить отраву для крыс

to set a crown on smb.'s head - возложить корону на чью-л. голову

to set smb. on a pedestal - возвести кого-л. на пьедестал

he took off his hat and set it on the floor - он снял шляпу и положил её на пол

to set Vergil before Homer - ставить /считать/ Вергилия выше Гомера

to set smb. among the great writers - считать кого-л. одним из великих писателей

to set smb., smth. at naught - а) ни во что не ставить, презирать кого-л., что-л.; to set smb.'s good advice at naught - пренебречь чьим-л. разумным советом; б) издеваться над кем-л., чем-л.

to set much /a great deal/ on smth. - придавать чему-л. большое значение

he sets a great deal by daily exercise - он придаёт большое значение ежедневным упражнениям

to set little on smth. - придавать чему-л. мало значения

I don't set myself up to be better than you - я не считаю себя лучше /выше/ вас

a house set in a beautiful garden - дом, стоящий в прекрасном саду

a little town set north of London - маленький городок, расположенный к северу от Лондона

a little door set in a wall - маленькая дверь в стене

blue eyes set deep in a white face - голубые, глубоко посаженные глаза на бледном лице

the second act is set in a street - место действия второго акта - улица

the pudding sets heavily on the stomach - пудинг тяжело ложится на желудок

to set smb. by the fire - усадить кого-л. у камина /у костра/

to set smb. on horseback - посадить кого-л. на лошадь

to set a king on a throne - посадить /возвести/ короля на трон

to set the wheel on the axle - насадить колесо на ось

to set a butterfly - наколоть бабочку на булавку

to set glass in a window - вставлять стекло (в окно)

to set one's foot in the stirrup - вложить ногу в стремя

to set one's face towards the sun - повернуться лицом к солнцу

to set a map - ориентировать карту

to set against the wind - идти против ветра

to set smb. on the right [wrong] track - направить кого-л. по правильному [ложному] следу

to set the police after a criminal - направить полицию по следам преступника

public opinion is setting with [against] him - общественное мнение за [против] него, общественное мнение складывается в [не в] его пользу

to set a palette - подготовить палитру

to set a piano - настроить пианино

to set the sails (of a ship) - ставить паруса (корабля)

to set the scene - описать (в общих чертах) обстановку /положение/

to set the stage for the application of a new method of therapy - подготовить почву для нового метода лечения

to be set for smth. - быть готовым к чему-л.

it was all set now - теперь всё было готово /подготовлено/

it /the stage/ was all set for a first-class row - всё предвещало первостатейный скандал

I was all set for the talk - я готовился к этому разговору; я знал, что меня ждёт /мне предстоит/ этот разговор

he was all set for a brilliant career - перед ним открывалась блестящая карьера, его ждала блестящая карьера

to set standards - устанавливать нормы

to set requirements - определять требования

to set a limit /boundary/ - устанавливать границы /пределы/

to set a limit to smth. - установить предел чему-л., пресечь что-л.

to set bounds to smth. - ограничивать что-л.

to set a precedent - создавать прецедент

to set the style /tone/ - задавать тон

to set a course on a chart - назначить курс корабля по карте

to set a time [a date] - назначить время [дату]

to set a wedding day - назначать день свадьбы

to set a price - назначать цену

to set a price on smb.'s head /on smb.'s life/ - оценивать чью-л. голову /жизнь/, назначать сумму вознаграждения за поимку кого-л.

to set a fine - установить сумму штрафа

he sets no limit to his ambitions - его честолюбие безгранично /не знает пределов/

the time and date of the meeting have not yet been set - время и день собрания ещё не назначены

then it's all set for Thursday at my place - значит решено - в четверг у меня

do you think this bonnet sets me? - как вы думаете, идёт мне эта шляпка?

the jacket sets badly - жакет плохо сидит

to set a tool - устанавливать резец

the sun is setting - солнце заходит

the glory of Troy had set - слава Трои померкла

to set a clock /a watch/, to set the hands of a clock - (по)ставить часы (правильно)

to set one's watch by the town clock [by the time-signal] - ставить свои часы по городским [по сигналу поверки времени]

to set an alarm-clock - поставить /завести/ будильник

to set a thermostat at seventy - поставить стрелку термостата на семьдесят

I want you to set your watch by mine - я хочу, чтобы вы поставили свои часы по моим

to set a goal - поставить цель

to set a task - поставить задачу

to set oneself an ideal - создавать себе идеал

to set a sum - задать задачу

to set the lessons for tomorrow - задать уроки на завтра

the teacher set his boys a difficult problem - учитель задал ученикам трудную задачу

what questions were set in the examination? - какие вопросы задавали на экзамене?

to set good [bad] examples - подавать хорошие [дурные] примеры

he has set a good example for me to follow - он подаёт мне хороший пример

to set the fashion - быть законодателем мод

to set a new model - внедрять новую модель /-ый образец/

to set one's teeth - а) стискивать зубы

he set his teeth doggedly [hard] - он упрямо [крепко] стиснул зубы; б) принять твёрдое решение; упрямо стоять на своём, заупрямиться

with jaws set in an effort to control himself - стиснув зубы, он пытался овладеть собой

his lips were firmly set - губы его были плотно сжаты

his lips set stubbornly - его губы упрямо сжались

his face set - его лицо окаменело

he was sitting there his face set - он сидел с каменным лицом

the mortar joining these bricks hasn't set yet - известковый раствор, скрепляющий эти кирпичи, ещё не затвердел

the jelly has set - желе застыло

his mind and character are completely set - у него зрелый ум и вполне сложившийся характер

her figure is hardly set yet - у неё ещё не оформилась фигура

he set a record for the half mile - он установил рекорд (в беге) на полмили

he quickly set the table (for three) - он быстро накрыл стол (на три персоны)

the table was set for dinner - стол был накрыт к обеду

the hostess ordered to have a place set for the guest - хозяйка распорядилась поставить прибор для (нового) гостя

to set a bone - вправить кость

to set a broken leg [arm, a dislocated joint] - вправить ногу [руку, вывихнутый сустав]

to set diamonds - вставлять в оправу /оправлять/ бриллианты

a ring set with rubies - кольцо с рубинами

a ruby set in gold - рубин в золотой оправе

to set one's cap - поправить кепку

set your hat straight - поправьте вашу шляпу

to set one's hair - делать причёску, укладывать волосы

to set a song to music - класть песню на музыку

to set music to words - писать музыку на слова

to set a piece of music for the violin - переложить музыкальную пьесу для скрипки

to set a melody half a tone higher - транспонировать мелодию на полтона выше

to set a razor - править бритву

to set a saw - разводить пилу

to set guards [sentries, watches] - расставить караульных [часовых, стражу]

to set a guard at the door - ставить часового у двери

to set pickets around the camp - выставить дозорных вокруг лагеря

to set smb., smth. ashore - а) высаживать кого-л. на берег; б) выгружать что-л. на берег

to set troops on shore - высаживать войска на берег

to set one's hopes on smb. - возлагать надежды на кого-л.

to set a veto on smth. - наложить запрет на что-л.

to set a punishment [a fine] - накладывать взыскание [штраф]

to set a seal - а) поставить печать; б) наложить отпечаток

it set a seal on all his life - это наложило отпечаток на всю его жизнь

to set seed [plants, fruit-trees] - сажать семена [растения, фруктовые деревья]

the young plants should be set (out) at intervals of six inches - молодые растения следует высаживать на расстоянии шести дюймов друг от друга

fruit sets - плоды завязываются

they had to set fresh papers - им пришлось составлять новую письменную работу

to set an examination paper - составлять письменную экзаменационную работу

to set questions in an examination - составлять вопросы для экзаменационной работы

to set a book - включить какую-л. книгу в учебную программу

the tide sets to the west - течение идёт на запад

the wind sets from the south - ветер дует с юга

the tide has set in his favour - его акции поднимаются

the current set them northward - течение понесло их на север

to set close [wide] - набирать плотно [свободно]

the editorial was set in boldface type - передовая была набрана жирным шрифтом

to set about one's work - взяться /приняться/ за работу

to set about one's packing [getting dinner ready] - начинать упаковывать вещи [готовить обед]

to set about stamp-collecting [learning the German language] - взяться за собирание марок [изучение немецкого языка]

I don't know how to set about it - я не знаю, как взяться за это дело /как подступиться к этому/

to set smb. about a task - заставить кого-л. приступить к выполнению задания

to set to work - приступить к работе, приниматься за работу

to set to one's packing - приниматься за укладку вещей

they set to fighting [arguing] - они стали драться [спорить]

I set to work to wake up the boys - я принялся будить мальчиков

to set smb. to work [to dictation] - усадить кого-л. за работу [за диктант]

to set smb. to saw wood [to dig a field] - заставить кого-л. пилить дрова [вскапывать поле]

to set the class to sums - дать классу (решать) задачи

who(m) did you set to do this? - кому вы поручили сделать это?

she would do what she was set to do with great thoroughness - она тщательно выполняла то, что ей поручали

he set himself to study biology - он принялся упорно изучать биологию

he set himself to amusing me - он старался изо всех сил развлечь меня

she set herself to put him at his ease - она делала всё возможное, чтобы он чувствовал себя свободно

it is no pleasant task but let us set ourselves to it - это не очень приятное задание, но давайте приступим к его выполнению

we are all set to go - мы уже готовы (идти)

he was (all) set to go when I came - он уже был (совсем) готов (идти), когда я пришёл

we're absolutely all set on going there - мы твёрдо решили пойти туда

she was set on going on the stage - она твёрдо решила пойти на сцену

Bill was set on finding him - Билл поставил себе целью отыскать его

to be dead set on smth. - упорно /страстно/ желать чего-л.

we didn't much like the idea of his going back to New York but he was set on it - мы не очень одобряли его план вернуться в Нью-Йорк, но он твёрдо решил сделать это

he set himself against my proposal - он заупрямился и отказался принять моё предложение

the mother was violently set against the match - мать была категорически против этого брака

he (himself) was set against going there - он (сам) упорно отказывался идти туда

to set upon smb. with blows - наброситься на кого-л. с кулаками

to set upon smb. with arguments - атаковать кого-л. доводами

they set upon me like a pack of dogs - они набросились на меня, как свора собак

they set about each other at once - они сразу же начали драться

I'd set about you myself if I could - если бы я мог, я бы сам отколотил тебя

to set the dog on /at/ smb. - натравить на кого-л. собаку

to set detectives on smb. /on smb.'s tracks/ - установить за кем-л. слежку

to set a friend against friend - поссорить друзей

he is trying to set you against me - он старается восстановить вас против меня

he has set everyone against me - он всех восстановил против меня

to set smb. on to commit a crime - толкнуть кого-л. на преступление

when theory is set against practice - когда теорию противопоставляют практике

when we set one language against another - когда мы сравниваем один язык с другим

against the cost of a new car, you can set the considerable saving on repairs and servicing - покупка нового автомобиля стоит денег, но, с другой стороны, это даёт экономию на ремонте и обслуживании

he set a hand against the door and shoved it - он упёрся рукой в дверь и толкнул её

to set smb. (up) over a people - посадить кого-л. на трон, сделать кого-л. королём, дать кому-л. власть над народом

he was set up over his rivals - его ставили выше соперников

to set smb. down for an actor - принять кого-л. за актёра

he set her down for forty - он считал, что ей лет сорок

to set up for a professional [for a scholar] - выдавать себя за профессионала [за учёного]

to set oneself up for an atheist - объявлять себя атеистом

don't set up for a scientist - я не претендую на большую учёность

I don't set up for an angel - я не причисляю себя к святым

to set the top of wall with broken glass - утыкать верхнюю часть стены битым стеклом

tables set with flowers - столы, украшенные цветами

the sky set with stars - небо, усеянное звёздами

a coast set with modern resorts - побережье со множеством современных курортов

to set a bed with flowers - засадить клумбу цветами

a soul that is set to melancholy - душа, склонная к печали

to set a match [a lighter] to a cigarette - поднести спичку [зажигалку] к сигарете

to set one's lips to a glass, to set a glass to one's lips - поднести стакан ко рту

to set one's shoulder to the door - налечь плечом на дверь

to set one's hand /one's name, one's signature, one's seal/ to a document - подписать документ

to set pen to paper - взяться за перо, начать писать

to set spurs to a horse - пришпорить лошадь

to set apart funds for some purpose - выделять фонды для какой-л. цели

to set some food apart for further use - откладывать часть продуктов на будущее

I shall set these books apart (for you) - я отложу эти книги (для вас)

the rooms set apart for the children were large and beautiful - комнаты, отведённые для детей, были просторны и красивы

to set a plan [facts] before smb. - излагать /представлять на рассмотрение/ кому-л. план [факты]

he set his plan before the council - он изложил /представил/ совету свой план

to set free - освободить

to set a prisoner free /at liberty/ - освободить арестованного

to set the dog loose - спустить собаку

to set the window open - открыть окно

to set a rumour afloat - пустить слух

to set afloat the latent fears - разбудить дремлющие страхи

anger set afloat all his inner grievances - гнев всколыхнул затаённые обиды

to set smb. wrong - вводить кого-л. в заблуждение

he set me at ease at once - мне сразу стало с ним легко

set your mind at ease! - не беспокойтесь!

to set smb.'s mind at rest - успокоить кого-л.

to set one's mind at rest - успокоиться

to set a question /affair/ at rest - разрешить какой-л. вопрос, покончить с каким-л. вопросом

that sets all my doubts at rest - это разрешает все мои сомнения

to set smb.'s fears at rest - рассеять чьи-л. опасения

to set smb.'s curiosity agog - возбудить /вызвать/ чьё-л. любопытство

to set smb. on the alert - заставить кого-л. насторожиться

to set one's affairs [papers, room] in order - приводить свои дела [бумаги, комнату] в порядок

we must set things going - нужно начинать действовать

to set on foot = to set going б)

to set a top spinning - (за)пустить волчок

to set smb. laughing [in a roar] - рассмешить, заставить кого-л. смеяться [покатиться со смеху]

to set the company laughing - вызвать всеобщий смех

his jokes set the whole room [the table] laughing - все, кто был в комнате [кто сидел за столом], до упаду смеялись над его шутками

to set smb. (off) thinking, to set smb. to thinking - заставить кого-л. призадуматься

to set smb. wondering - вызывать у кого-л. удивление

to set smb. flying - обратить кого-л. в бегство

to set one's heart beating - заставить сердце забиться

to set tongues wagging - вызывать толки, давать пищу для сплетен

this incident set everybody's tongue wagging - этот инцидент наделал много шуму

the smoke set her coughing - от дыма она начала кашлять

to set the company talking - а) развязать языки; б) дать пищу злым языкам

I set him talking about the new discovery - я навёл его на разговор о новом открытии

to set bells ringing - зазвонить в колокола

to set foot somewhere - ходить куда-л., появляться где-л.

he was forbidden to set foot there - ему запретили туда ходить

not to set foot in smb.'s house - не переступать порога чьего-л. дома

to set foot on shore - ступить на землю /на берег/

to set one's feet on the path - пуститься в путь /дорогу/

to set one's heart on smth. - стремиться к чему-л., страстно желать чего-л.

to set one's heart on doing smth. - стремиться сделать что-л.

he set his heart on going to the South - он очень хотел /твёрдо решил/ поехать на юг

he has set his heart on seeing Moscow - его заветной мечтой было повидать Москву

why should it be that man she has set her heart upon? - почему она полюбила именно этого человека?

to set one's wits to smb.'s (wits) - поспорить /помериться силами/ с кем-л.

to set one's wits to smth. - пытаться (раз)решить что-л.; ≅ шевелить мозгами

to set one's wits to work - ломать себе голову над чем-л.

to set people by the ears /at variance, at loggerheads/ - ссорить, натравливать людей друг на друга

he likes to set people by the ears - он любит ссорить людей между собой

to set (one's life) on a chance - ставить (жизнь) на карту

to set smth. on fire, to set fire /a light/ to smth. - сжечь /поджечь, зажечь/ что-л.

to have smb. set - схватить кого-л. за горло, прижать кого-л. к стенке

to set the law [smb.] at defiance - бросать вызов закону [кому-л.]

the scene was set for the tragedy - всё предвещало трагедию

теория графов
—
[Я.Н.Лугинский, М.С.Фези-Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо-русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.]

теория графов
Математическая теория, содержание которой формулируется двояко, в зависимости от трактовки ее исходного понятия граф: теоретико-множественной или геометрической. В первом случае предметом теории являются графы как некие объекты, определяемые двумя множествами — множеством элементов и множеством отношений между ними. Во втором случае — свойства геометрических схем (графов), образованных множеством точек и соединяющих их линий (подробнее см. в статье Граф). В обоих случаях главное понятие теории — граф, изучаемый как абстракция, независимо от его содержания. Например, карта Московской кольцевой дороги и подходящих к ней радиальных магистралей — это точно такой же граф, как диаграмма, с помощью которой изучаются потоки зрителей, выходящих из цирка после представления. С графами приходится иметь дело на каждом шагу: схемы, диаграммы, карты дорог, линии связи, фигуры, даже структуры химических соединений — все это наглядные примеры графов. Т.г. изучает качественные и количественные связи и соотношения между элементами графов с разных точек зрения (структурной, информационной и т.д.). Например, выясняется связность графа: возможно ли попасть из любой его вершины в любую другую; формируются правила расчленения графов на части (подграфы) и наоборот композиции («сшивания«) графов в более крупные, в том числе синтез графов с заданными свойствами. Исследование графов ведется комбинаторными методами математики. Обнаруженные соотношения, закономерности находят применение в самых различных областях экономики. С их помощью можно решать задачи по построению наилучшего плана перевозок продукции от поставщика к потребителям, вырабатывать маршруты различных перевозок, рассчитывать наилучшее распределение рабочих по машинам на производстве и т.д. На Т.г. основаны, в частности, сетевые методы планирования и управления, использование в различных разделах экономико-математических методов таких средств, как дерево целей, дерево решений.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электротехника, основные понятия

EN

• graph theory

теория графов
—
[Я.Н.Лугинский, М.С.Фези-Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо-русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.]

теория графов
Математическая теория, содержание которой формулируется двояко, в зависимости от трактовки ее исходного понятия граф: теоретико-множественной или геометрической. В первом случае предметом теории являются графы как некие объекты, определяемые двумя множествами — множеством элементов и множеством отношений между ними. Во втором случае — свойства геометрических схем (графов), образованных множеством точек и соединяющих их линий (подробнее см. в статье Граф). В обоих случаях главное понятие теории — граф, изучаемый как абстракция, независимо от его содержания. Например, карта Московской кольцевой дороги и подходящих к ней радиальных магистралей — это точно такой же граф, как диаграмма, с помощью которой изучаются потоки зрителей, выходящих из цирка после представления. С графами приходится иметь дело на каждом шагу: схемы, диаграммы, карты дорог, линии связи, фигуры, даже структуры химических соединений — все это наглядные примеры графов. Т.г. изучает качественные и количественные связи и соотношения между элементами графов с разных точек зрения (структурной, информационной и т.д.). Например, выясняется связность графа: возможно ли попасть из любой его вершины в любую другую; формируются правила расчленения графов на части (подграфы) и наоборот композиции («сшивания«) графов в более крупные, в том числе синтез графов с заданными свойствами. Исследование графов ведется комбинаторными методами математики. Обнаруженные соотношения, закономерности находят применение в самых различных областях экономики. С их помощью можно решать задачи по построению наилучшего плана перевозок продукции от поставщика к потребителям, вырабатывать маршруты различных перевозок, рассчитывать наилучшее распределение рабочих по машинам на производстве и т.д. На Т.г. основаны, в частности, сетевые методы планирования и управления, использование в различных разделах экономико-математических методов таких средств, как дерево целей, дерево решений.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электротехника, основные понятия

EN

• graph theory

линейное программирование
—
[ http://www.iks-media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324]

линейное программирование
Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны ограничения типа или в так называемой канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая Требуется найти неотрицательные числа xj (j = 1, 2, …, n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму Неотрицательность искомых чисел записывается так: Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с теми оговорками, что как ограничения, так и целевая функция — линейные, а искомые переменные — неотрицательны. Обозначения можно трактовать следующим образом: bi — количество ресурса вида i; m — количество видов этих ресурсов; aij — норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; xj — количество продукции вида j, причем таких видов — n; cj — доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m1, от m1 + 1 до m2 и от m2 + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — «не больше», во втором — «столько же», в третьем — «не меньше»; Z — в случае максимизации, например, объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себестоимость, расход сырья и т.п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколько ниже; vi — оптимальная оценка i-го ресурса. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово, «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л.п. оказываются весьма несовершенными. Рассмотрим две задачи Л.п. — на максимум и на минимум — на упрощенных примерах. Предположим, требуется разработать план производства двух видов продукции (объем первого — x1; второго — x2) с наиболее выгодным использованием трех видов ресурсов (наилучшим в смысле максимума общей прибыли от реализации плана). Условия задачи можно записать в виде таблицы (матрицы). Исходя из норм, зафиксированных в таблице, запишем неравенства (ограничения): a11x1 + a12x2 ? bi a21x1 + a22x2 ? b2 a31x1 + a32x2 ? b3 Это означает, что общий расход каждого из трех видов ресурсов не может быть больше его наличия. Поскольку выпуск продукции не может быть отрицательным, добавим еще два ограничения: x1? 0, x2? 0. Требуется найти такие значения x1 и x2, при которых общая сумма прибыли, т.е. величина c1 x1 + c2 x2 будет наибольшей, или короче: Удобно показать условия задачи на графике (рис. Л.2). Рис. Л.2 Линейное программирование, I (штриховкой окантована область допустимых решений) Любая точка здесь, обозначаемая координатами x1 и x2, составляет вариант искомого плана. Очевидно, что, например, все точки, находящиеся в области, ограниченной осями координат и прямой AA, удовлетворяют тому условию, что не может быть израсходовано первого ресурса больше, чем его у нас имеется в наличии (в случае, если точка находится на самой прямой, ресурс используется полностью). Если то же рассуждение отнести к остальным ограничениям, то станет ясно, что всем условиям задачи удовлетворяет любая точка, находящаяся в пределах области, края которой заштрихованы, — она называется областью допустимых решений (или областью допустимых значений, допустимым множеством). Остается найти ту из них, которая даст наибольшую прибыль, т.е. максимум целевой функции. Выбрав произвольно прямую c1x1 + c2x2 = П и обозначив ее MM, находим на чертеже все точки (варианты планов), где прибыль одинакова при любом сочетании x1 и x2 (см. Линия уровня). Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая в наибольшей мере удалена от начала координат, однако не вышла за пределы области допустимых значений. (Перемещая линию уровня еще дальше, уже выходим из нее и, следовательно, нарушаем ограничения задачи). Точка M0 и будет искомым оптимальным планом. Она находится в одной из вершин многоугольника. Может быть и такой случай, когда линия уровня совпадает с одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений, тогда оптимальным будет любой план, находящийся на соответствующем отрезке. Координаты точки M0 (т.е. оптимальный план) можно найти, решая совместно уравнения тех прямых, на пересечении которых она находится. Противоположна изложенной другая задача Л.п.: поиск минимума функции при заданных ограничениях. Такая задача возникает, например, когда требуется найти наиболее дешевую смесь некоторых продуктов, содержащих необходимые компоненты (см. Задача о диете). При этом известно содержание каждого компонента в единице исходного продукта — aij, ее себестоимость — cj ; задается потребность в искомых компонентах — bi. Эти данные можно записать в таблице (матрице), сходной с той, которая приведена выше, а затем построить уравнения как ограничений, так и целевой функции. Предыдущая задача решалась графически. Рассуждая аналогично, можно построить график (рис. Л.3), каждая точка которого — вариант искомого плана: сочетания разных количеств продуктов x1 и x2. Рис.Л.3 Линейное программирование, II Область допустимых решений здесь ничем сверху не ограничена: нужное количество заданных компонентов тем легче получить, чем больше исходных продуктов. Но требуется найти наиболее выгодное их сочетание. Пунктирные линии, как и в предыдущем примере, — линии уровня. Здесь они соединяют планы, при которых себестоимость смесей исходных продуктов одинакова. Линия, соответствующая наименьшему ее значению при заданных требованиях, — линия MM. Искомый оптимальный план — в точке M0. Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л.п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве (выпуклый многогранник). Задачи Л.п., в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов («константы ограничений«) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования. В экономике широко применяются линейно-программные методы решения задач размещения производства (см. Транспортная задача), расчета рационов для скота (см. Задача диеты), наилучшего использования материалов (см. Задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (см. Распределительная задача) и т.д. Разработан целый ряд вычислительных приемов, позволяющих решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения (см. Симплексный метод, Базисное решение), а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики. Один из видов решения имеет особое значение для экономической интерпретации задачи Л.п. Он связан с тем, что каждой прямой задаче Л.п. соответствует другая, симметричная ей двойственная задача (подробнее см. также Двойственность в линейном программировании). Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т.д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) vi каждого ресурса на его количество bi— то есть равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип Л.п. состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны. Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция прямой задачи при увеличении (или уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках (см. Объективно обусловленные (оптимальные) оценки). Первооткрыватель Л.п. — советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л.В.Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л.В.Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений. Позднее, в 40—50-х годах, многое сделали в этой области американские ученые — экономист Т.Купманс и математик Дж. Данциг. Последнему принадлежит термин «линейное программирование». См. также: Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткость, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна — Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электросвязь, основные понятия

EN

• linear programming

линейное программирование
—
[ http://www.iks-media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324]

линейное программирование
Область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными. В самом общем виде задачу Л.п. можно записать так. Даны ограничения типа или в так называемой канонической форме, к которой можно привести все три указанных случая Требуется найти неотрицательные числа xj (j = 1, 2, …, n), которые минимизируют (или максимизируют) линейную форму Неотрицательность искомых чисел записывается так: Таким образом, здесь представлена общая задача математического программирования с теми оговорками, что как ограничения, так и целевая функция — линейные, а искомые переменные — неотрицательны. Обозначения можно трактовать следующим образом: bi — количество ресурса вида i; m — количество видов этих ресурсов; aij — норма расхода ресурса вида i на единицу продукции вида j; xj — количество продукции вида j, причем таких видов — n; cj — доход (или другой выигрыш) от единицы этой продукции, а в случае задачи на минимум — затраты на единицу продукции; нумерация ресурсов разделена на три части: от 1 до m1, от m1 + 1 до m2 и от m2 + 1 до m в зависимости от того, какие ставятся ограничения на расходование этих ресурсов; в первом случае — «не больше», во втором — «столько же», в третьем — «не меньше»; Z — в случае максимизации, например, объем продукции или дохода, в случае же минимизации — себестоимость, расход сырья и т.п. Добавим еще одно обозначение, оно появится несколько ниже; vi — оптимальная оценка i-го ресурса. Слово «программирование» объясняется здесь тем, что неизвестные переменные, которые отыскиваются в процессе решения задачи, обычно в совокупности определяют программу (план) работы некоторого экономического объекта. Слово, «линейное» отражает факт линейной зависимости между переменными. При этом, как указано, задача обязательно имеет экстремальный характер, т.е. состоит в отыскании экстремума (максимума или минимума) целевой функции. Следует с самого начала предупредить: предпосылка линейности, когда в реальной экономике подавляющее большинство зависимостей носит более сложный нелинейный характер, есть огрубление, упрощение действительности. В некоторых случаях оно достаточно реалистично, в других же выводы, получаемые с помощью решения задач Л.п. оказываются весьма несовершенными. Рассмотрим две задачи Л.п. — на максимум и на минимум — на упрощенных примерах. Предположим, требуется разработать план производства двух видов продукции (объем первого — x1; второго — x2) с наиболее выгодным использованием трех видов ресурсов (наилучшим в смысле максимума общей прибыли от реализации плана). Условия задачи можно записать в виде таблицы (матрицы). Исходя из норм, зафиксированных в таблице, запишем неравенства (ограничения): a11x1 + a12x2 ? bi a21x1 + a22x2 ? b2 a31x1 + a32x2 ? b3 Это означает, что общий расход каждого из трех видов ресурсов не может быть больше его наличия. Поскольку выпуск продукции не может быть отрицательным, добавим еще два ограничения: x1? 0, x2? 0. Требуется найти такие значения x1 и x2, при которых общая сумма прибыли, т.е. величина c1 x1 + c2 x2 будет наибольшей, или короче: Удобно показать условия задачи на графике (рис. Л.2). Рис. Л.2 Линейное программирование, I (штриховкой окантована область допустимых решений) Любая точка здесь, обозначаемая координатами x1 и x2, составляет вариант искомого плана. Очевидно, что, например, все точки, находящиеся в области, ограниченной осями координат и прямой AA, удовлетворяют тому условию, что не может быть израсходовано первого ресурса больше, чем его у нас имеется в наличии (в случае, если точка находится на самой прямой, ресурс используется полностью). Если то же рассуждение отнести к остальным ограничениям, то станет ясно, что всем условиям задачи удовлетворяет любая точка, находящаяся в пределах области, края которой заштрихованы, — она называется областью допустимых решений (или областью допустимых значений, допустимым множеством). Остается найти ту из них, которая даст наибольшую прибыль, т.е. максимум целевой функции. Выбрав произвольно прямую c1x1 + c2x2 = П и обозначив ее MM, находим на чертеже все точки (варианты планов), где прибыль одинакова при любом сочетании x1 и x2 (см. Линия уровня). Перемещая эту линию параллельно ее исходному положению, найдем точку, которая в наибольшей мере удалена от начала координат, однако не вышла за пределы области допустимых значений. (Перемещая линию уровня еще дальше, уже выходим из нее и, следовательно, нарушаем ограничения задачи). Точка M0 и будет искомым оптимальным планом. Она находится в одной из вершин многоугольника. Может быть и такой случай, когда линия уровня совпадает с одной из прямых, ограничивающих область допустимых значений, тогда оптимальным будет любой план, находящийся на соответствующем отрезке. Координаты точки M0 (т.е. оптимальный план) можно найти, решая совместно уравнения тех прямых, на пересечении которых она находится. Противоположна изложенной другая задача Л.п.: поиск минимума функции при заданных ограничениях. Такая задача возникает, например, когда требуется найти наиболее дешевую смесь некоторых продуктов, содержащих необходимые компоненты (см. Задача о диете). При этом известно содержание каждого компонента в единице исходного продукта — aij, ее себестоимость — cj ; задается потребность в искомых компонентах — bi. Эти данные можно записать в таблице (матрице), сходной с той, которая приведена выше, а затем построить уравнения как ограничений, так и целевой функции. Предыдущая задача решалась графически. Рассуждая аналогично, можно построить график (рис. Л.3), каждая точка которого — вариант искомого плана: сочетания разных количеств продуктов x1 и x2. Рис.Л.3 Линейное программирование, II Область допустимых решений здесь ничем сверху не ограничена: нужное количество заданных компонентов тем легче получить, чем больше исходных продуктов. Но требуется найти наиболее выгодное их сочетание. Пунктирные линии, как и в предыдущем примере, — линии уровня. Здесь они соединяют планы, при которых себестоимость смесей исходных продуктов одинакова. Линия, соответствующая наименьшему ее значению при заданных требованиях, — линия MM. Искомый оптимальный план — в точке M0. Приведенные крайне упрощенные примеры демонстрируют основные особенности задачи Л.п. Реальные задачи, насчитывающие много переменных, нельзя изобразить на плоскости — для их геометрической интерпретации используются абстрактные многомерные пространства. При этом допустимое решение задачи — точка в n-мерном пространстве, множество всех допустимых решений — выпуклое множество в этом пространстве (выпуклый многогранник). Задачи Л.п., в которых нормативы (или коэффициенты), объемы ресурсов («константы ограничений«) или коэффициенты целевой функции содержат случайные элементы, называются задачами линейного стохастического программирования; когда же одна или несколько независимых переменных могут принимать только целочисленные значения, то перед нами задача линейного целочисленного программирования. В экономике широко применяются линейно-программные методы решения задач размещения производства (см. Транспортная задача), расчета рационов для скота (см. Задача диеты), наилучшего использования материалов (см. Задача о раскрое), распределения ресурсов по работам, которые надо выполнять (см. Распределительная задача) и т.д. Разработан целый ряд вычислительных приемов, позволяющих решать на ЭВМ задачи линейного программирования, насчитывающие сотни и тысячи переменных, неравенств и уравнений. Среди них наибольшее распространение приобрели методы последовательного улучшения допустимого решения (см. Симплексный метод, Базисное решение), а также декомпозиционные методы решения крупноразмерных задач, методы динамического программирования и др. Сама разработка и исследование таких методов — развитая область вычислительной математики. Один из видов решения имеет особое значение для экономической интерпретации задачи Л.п. Он связан с тем, что каждой прямой задаче Л.п. соответствует другая, симметричная ей двойственная задача (подробнее см. также Двойственность в линейном программировании). Если в качестве прямой принять задачу максимизации выпуска продукции (или объема реализации, прибыли и т.д.), то двойственная задача заключается, наоборот, в нахождении таких оценок ресурсов, которые минимизируют затраты. В случае оптимального решения ее целевая функция — сумма произведений оценки (цены) vi каждого ресурса на его количество bi— то есть равна целевой функции прямой задачи. Эта цена называется объективно обусловленной, или оптимальной оценкой, или разрешающим множителем. Основополагающий принцип Л.п. состоит в том, что в оптимальном плане и при оптимальных оценках всех ресурсов затраты и результаты равны. Оценки двойственной задачи обладают замечательными свойствами: они показывают, насколько возрастет (или уменьшится) целевая функция прямой задачи при увеличении (или уменьшении) запаса соответствующего вида ресурсов на единицу. В частности, чем больше в нашем распоряжении данного ресурса по сравнению с потребностью в нем, тем ниже будет оценка, и наоборот. Не решая прямую задачу, по оценкам ресурсов, полученных в двойственной задаче, можно найти оптимальный план: в него войдут все технологические способы, которые оправдывают затраты, исчисленные в этих оценках (см. Объективно обусловленные (оптимальные) оценки). Первооткрыватель Л.п. — советский ученый, академик, лауреат Ленинской, Государственной и Нобелевской премий Л.В.Канторович. В 1939 г. он решил математически несколько задач: о наилучшей загрузке машин, о раскрое материалов с наименьшими расходами, о распределении грузов по нескольким видам транспорта и др., при этом разработав универсальный метод решения этих задач, а также различные алгоритмы, реализующие его. Л.В.Канторович впервые точно сформулировал такие важные и теперь широко принятые экономико-математические понятия, как оптимальность плана, оптимальное распределение ресурсов, объективно обусловленные (оптимальные) оценки, указав многочисленные области экономики, где могут быть применены экономико-математические методы принятия оптимальных решений. Позднее, в 40—50-х годах, многое сделали в этой области американские ученые — экономист Т.Купманс и математик Дж. Данциг. Последнему принадлежит термин «линейное программирование». См. также: Ассортиментные задачи, Базисное решение, Блочное программирование, Булево линейное программирование, Ведущий столбец, Ведущая строка, Вершина допустимого многогранника, Вырожденная задача, Гомори способ, Граничная точка, Двойственная задача, Двойственность в линейном программировании, Дифференциальные ренты, Дополняющая нежесткость, Жесткость и нежесткость ограничений ЛП, Задача диеты, Задача о назначениях, Задача о раскрое, Задачи размещения, Исходные уравнения, Куна — Таккера условия, Множители Лагранжа, Область допустимых решений, Опорная прямая, Распределительные задачи, Седловая точка, Симплексная таблица, Симплексный метод, Транспортная задача.
[ http://slovar-lopatnikov.ru/]

Тематики

• экономика
• электросвязь, основные понятия

EN

• linear programming